V devetnajstem stoletju nastopi v geometriji kar nekaj velikih sprememb. Pojavijo se nove geometrije, ki stopijo ob bok evklidski.
Eden od načinov, kako matematiki obvladujejo rast njihovega področja, je, da ga redefinirajo, tako da njegove različne veje postanejo veje istega področja. Prav to je storil za geometrijo Felix Klein. Njegove ideje iz leta 1872 so poenotile obravnavo vseh do tedaj znanih geometrij.
Naloga tedna:
- Nad stranicami trikotnika so trije enakostranični trikotniki. Dani so njihovi vrhovi D, E, F. Določi (računsko in konstrukcijsko) oglišča trikotnika.
- Nad stranicami trikotnika so trije kvadrati. Dana so njihova težišča. Poišči oglišča trikotnika.
S pomočjo kompleksnih števil lahko elegantno dokažemo mnoge geometrijske rezultate, ki so bili prvotno dobljeni s klasičnimi metodami sintetične geometrije. Nekateri novi rezulati v geometriji pa so bili prvotno dokazani s pomočjo kompleksnih števil, potem pa so matematiki odkrili še preprostejše dokaze.
"Naj ne vstopa, kdor ne pozna geometrije!"
Platon
Geometrija je bila dolgo cenjena kot kraljica matematike. Njeni, danes vse manj znani izreki in dokazi, so več kot dva tisoč let predstavljali osnovo matematične izobrazbe na Zahodu in zgledno šolo v umetnosti dokazovanja. Danes se učenci učijo dokazovanja ob drugih matematičnih področjih, za obravnavo geometrije na aksiomatski način je vse manj mesta v kurikulumih širom sveta.
Vendar geometrije ni nujno obravnavati na način, kot ga je uporabil Evklid v Elementih. Obstajajo tudi mnoge druge privlačne alternative spoznavanja geometrije. Zgodovina geometrije, ki je danes zainteresiranemu bralcu dostopna že v kar nekaj odličnih knjigah, ponuja obilico primerov čudovitih izrekov, dokazov, formul in metod, pa tudi geometrijskih konstrukcij, ki jih je vredno poznati in razumeti.
V okviru tridelnega cikla predavanj Iz zgodovine geometrije (drugi in tretji del bosta 11.5 in 18.5)si bomo ogledali nekaj manj znanih in skoraj pozabljenih geometrijskih zakladov, katerih poznavanje lahko obogati tudi razmišljanje, domišljijo sodobnega matematika, vajenega bolj algebraičnega pristopa k matematiki. Spoznali bomonekaj najpomembnejših geometrov, razmišljali pa bomo tudi o načinih, na katere lahko pri študiju geometrije in njene zgodovine pomagajo moderna računalniška orodja.
Naloga tedna (tokrat ni le matematična, ampak tudi raziskovalna, zgodovinsko-matematična!):
Po Euler-Brahmaguptovi formuli je ploščina cikličnega četverokotnika s stranicami a, b, c in d enaka kvadratnemu korenu iz (s – a)(s – b)(s – c)(s – d), kjer je s polovična vsota stranic a, b, c in d.
Ali znate dokazati to formulo za kak poseben primer? Poiščite dokaz te formule, pa tudi kakšne zgodovinske podrobnosti v zvezi z njo, v literaturi iz matematike in zgodovine matematike!
Dokazi so ena najpomembnejših prvin matematike. Najboljši dokazi nam poleg potrditve resničnosti določene trditve uspejo predstaviti tudi razlog, zakaj je resnična. Razumevanju procesa dokazovanja je posvečeno kar nekaj matematične literature. Odkrite luknje v dokazih so velikokrat v zgodovini matematike pomagale natančneje definirati pojme, precizirati domeno veljavnosti določenih formul, ipd.bOb konkretnih primerih bomo spoznali nekaj tipičnih dokazov v matematiki.
Naloga tedna:
Pravimo, da je vozel tribarven, če obstaja neka njegova projekcija, katere loke lahko pobarvamo s tremi barvami tako, da se v poljubnem križišču projekcije srečajo loki treh barv, ali pa loki iste barve, pri tem pa smo za barvanje celotne projekcije porabili vsaj dve barvi. Ali je vozel na sliki tribarven?
Ogledali si bomo nekaj osnovnih pojmov iz matematične teorije vozlov in spoznali nekaj mejnikov iz njene kratke zgodovine. Razvoj teorije vozlov je pomembno pripomogel k razvoju topologije. Povezuje se tudi s teorijo grafov in teorijo ploskev. Uporabna je v kemiji, fiziki in biologiji.
Matematična teorija vozlov je za zgodovino matematike, ki ne preučuje samo starodavne matematike, ampak pozorno spremlja tudi razvoj sodobne matematike, zanimiva tudi zato, ker (podobno kot teorija kombinatoričnih iger) predstavlja razmeroma novo področje, ki se še vedno intenzivno razvija in na katerem je veliko zanimivih odprtih problemov, ki se jih da tudi brez obsežnega predznanja z drugih področij matematike razmeroma hitro razumeti.
Med igrami in števili matematiki dolgo niso prepoznali neposredne zveze. Kombinatorična teorija iger, ki se je razvila v 20. stoletju, je pripomogla ne samo k boljšemu razumevanju mnogih starih in novih iger, ampak tudi k odkritju elegantne konstrukcije realnih števil in infinitezimalov.
Igre različnih vrst so vselej privlačile tudi matematike. Orisali bomo osnovne koncepte in metode matematične teorije kombinatoričnih iger, lepe in globoke teorije, uporabne pri neštetih igrah, in si ogledali nekaj mejnikov v njenem razvoju.
Naloga tedna: Poišči zmagovalno strategijo v igri, pri kateri dva igralca iz začetnega kupčka 10 domin izmenično jemljeta po eno ali dve, zmaga pa tisti, ki vzame zadnjo domino!
Predstavili bomo življenje in delo ter pomen in vpliv Martina Gardnerja (1914-2010), enega najboljših popularizatorjev matematike vseh časov. Vrsto let je urejal rubriko razvedrilne matematike z naslovom „Mathematical Games“ za revijo „Scientific American“. Mnogi matematični rezultati so postali širše znani šele potem, ko jih je on predstavil v svoji kolumni. Njegov zgled kaže, da lahko k razvoju matematike veliko pripomorejo tudi tisti, ki jo znajo privlačno predstaviti na poljudni, splošno razumljivi ravni.
Za vzorec in v razmislek, tu je ena od Gardnerjevih nalog: Ali lahko kvadrat razrežemo na same ostrokotne trikotnike? In če se to da, kolikšno je najmanjše število takšnih trikotnikov?
V zgodovini matematike se največ naučimo, ko preučujemo življenje in delo največjih matematikov, za katere obstaja na voljo veliko virov, pa tudi pričevanj njihovih sodobnikov. Eden takih je zagotovo William Rowan Hamilton (1805-1865), za kateregapravijo, da je bil za Newtonom drugi največji angleški matematik.
Ogledali si bomo njegovo življenje in delo, predvsem na področju kompleksnih števil in njihovih posplošitev. Hamilton je kot prvi predstavil kompleksno število a + bi kot urejen par realnih števil (a, b). Nato se je 13 let (od 1830 do 1843) zaman mučil z iskanjem pravila za množenjeurejenih trojic(a,b,c). Takega pravila mu ni uspelo najti, je pa iznašel oziroma odkril t.i. kvaternione. Malokateri matematični koncept je tako zelo razdvojil matematike (in fizike) kotkvaternioni. Čeprav niso izpolnili velikih pričakovanj njihovega izumitelja,so vseeno odigrali pomembno vlogo pri razvoju matematike in fizike. Zgodba o hiperkompleksnih številih (posplošitvah kompleksnih števil na višje dimenzije) pa se ne zaključi pri kvaternionih…
Vljudno vabljeni!
P. S. Za tiste, ki vas ta tematika še posebej zanima, zastavljamo matematični problem, ki se nanaša prav na tematiko tega predavanja. Kdor jo reši, bo lahko rešitev predstavil na našem seminarju 16.03.2016.
Naloga tedna (namenjena temu, da se nekoliko vživite v problem, ki ga je reševal Hamilton, ko je iskal posplošitve kompleksnih števil):
Definiraj množenje urejenih trojic (a1,b1,c1) in (a2,b2,c2) realnih števil tako, da bo absolutna vrednost tako definiranega produkta (a3,b3,c3) = (a1,b1,c1)(a2,b2,c2) enaka produktu absolutnih vrednosti obeh faktorjev.
Opomba. Absolutna vrednost vektorja je definirana kot kvadratni koren iz vsote kvadratov njegovih komponent.
Euler je, kot eden najustvarjalnejših matematikov vseh časov, odločilno prispeval k številnim področjem matematike, zato je njegovo delo smiselno pregledovati po posameznih področjih.
Tokrat si bomo ogledali nekaj Eulerjevih prispevkov v zvezi s kompleksnimi števili, kjer je njegovo delo navdihnilo in spodbudilo tudi številne rezultate drugih matematikov.
Kompleksna števila se v zgodovini najprej pojavijo v rešitvah algebraičnih enačb. Matematiki so jih, podobno kot prej negativna in iracionalna števila, dolgo gledali z nezaupanjem. Euler je izpeljal nekaj temeljnih rezultatov v zvezi z njimi in odločilno prispeval k njihovi uveljavitvi. Danes kompleksna števila predstavljajo naraven okvir za obravnavo številnih problemov.
Leonhard Euler je kot eden redkih univerzalnih matematikov s svojim ogromnim opusom in izvirnimi metodami odločilno prispeval k razvoju ključnih področij matematike. Predstavili bomo njegovo življenje in delo, pa tudi njegove najpomembnejše dosežke s področja teorije števil.
Evklidovi Elementi so odločilno vplivali na razvoj matematike. Še danes so vredni preučevanja tudi zaradi svojega posebnega sloga in kompozicije. Predstavili bomo nekaj vidikov tega dela, ki so še posebej zanimivi s stališča zgodovine matematike.
Povzetek: Spoznali bomo nekaj glavnih mejnikov v razvoju teorije poliedrov.
Poliedri so matematikom že nekaj tisoč let neizčrpen vir navdiha in še vedno nam niso izdali vseh svojih skrivnosti. Vsaka doba in kultura v njih odkrije nekaj novega, kar se je izmaknilo pozornosti prejšnjih generacij. S poliedri so se tako ali drugače ukvarjali mnogi veliki matematiki, filozofi in umetniki, kot npr. Arhimed, Evklid, Platon, Leonardo da Vinci, Kepler, Albrecht Dürer, Newton, Descartes, Euler, Gauss in številni drugi. Najbolj so se zanimali zanje v antiki in potem ponovno v renesansi, pa tudi v XX. stoletju. Danes zanimanje zanje nenehno in strmo narašča.
