Na tej spletni strani lahko spremljate delo našega seminarja, objavljali bomo tudi različne zanimivosti in koristne informacije v zvezi z zgodovino matematike. Za razliko od predavanj, na katerih izbrane teme predstavljamo kolikor mogoče poglobljeno, bodo te opombe kar se da zgoščene. Ob njih boste udeleženci seminarjev lahko osvežili spomin na že slišano, drugi pa boste dobili neko osnovno predstavo o tem, kaj smo se na naših srečanjih naučili doslej.

Seminar za zgodovino matematike poteka v organizaciji oddelkov za matematiko dveh članic Univerze na Primorskem - UP FAMNIT in Inštituta Andrej Marušič (UP IAM) ter UP Pedagoške fakulete. Seminar bo potekal vsako sredo v 2. semestru študijskega leta 2015/16. Predstavitev seminarja si lahko ogledate tukaj. Vljudno vabljeni k udeležbi na seminarjih!

 

Kaj smo se naučili na dosedanjih seminarjih 

1. seminar: Kratka zgodovina poliedrov, 17.2.2016

Ogledali smo si najpomembnejše mejnike iz zgodovine poliedrov, ki so pomembno zaznamovali zgodovino matematike. Omenili smo tudi nekaj metod, ki jih uporabljajo zgodovinarji matematike. Odkrivanje izvornega pomena posameznih delov besedil včasih spominja na pravo detektivsko delo! Zavedli smo se pomembnosti preučevanja zgodovine matematike iz primarnih (ali vsaj sekundarnih) virov. Primarni viri so dela, ki so jih napisali veliki matematiki sami, sekundarna so komentarji tistih, ki so brali primarne vire (če že ne v izvirniku, pa vsaj v prevodu). Terciarni viri so že dvakrat oddaljeni od izvirnika, in so najmanj zanesljivi. Povedali smo, kako si lahko pomagamo pri razumevanju izvornega matematičnega teksta v jeziku, ki ga ne obvladamo (storitev Google Prevajalnik!). Opozorili smo tudi na problem, da se pomeni matematičnih pojmov v zgodovini spreminjajo, kar je treba pri preučevanju ali prevajanju starih tekstov upoštevati. O tem, kaj so vedeli o poliedrih starodavni matematiki Egipta, so morali zgodovinarji sklepati na podlagi nekaj drobcev informacij z Rhindovega in Moskovskega papirusa. Uspelo jim je ugotoviti, da so že poznali formulo za prostornino prisekane piramide. Pozabavali smo se s problemom, kako izračunati prostornino piramide. Njegova uspešna rešitev je bila za antične matematike pomemben dosežek. Videli smo, kako se je definicija poliedra (ali, če uporabimo lepo slovensko besedo: mnogoterca!) skozi zgodovino spreminjala, prav tako pa se je širil in razvijal tudi pojem pravilnosti oziroma regularnosti. Spoznali smo glavne družine poliedrov (platonska in arhimedska telesa, Kepler-Poinsotove zvezdaste poliedre, uniformne poliedre in Johnsonova telesa). Omenili smo različne transformacije poliedrov (npr. prisekanje, dual, medial), s katerimi lahko iz preprostih teles, kot so npr. platonska telesa ter prizme, piramide dobimo vse zapletenejša.
Ogledali smo si nekaj primerov poliedrov v umetnosti (Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Wentzel Jamnitzer).
Med pomembnimi mejniki v zgodovini poiedrov smo omenili tudi Descartesov poliedrski izrek (o vsoti defektov v vseh ogliščih poliedra)  ter Eulerjevo poliedrsko formulo (za katero obstaja več kot 20 različnih dokazov!), ki je pomembno vplivala na razvoj matematike (npr. na razvoj teorije ploskev, topologije in teorije grafov). Navedli smo tudi nekaj literature, ki nam lahko pomaga pri študiju poliedrov. Poudarek tega uvodnega predavanja je bil bolj na zgodovini polidrov kot na njihovih matematičnih vidikih. O sami teoriji poliedrov, ki bo zdaj, ko nekaj že vemo o njihovi zgodovini, lažje razumljiva, bomo govorili na enem od naših prihodnjih seminarjev.

2. seminar: Evklidovi Elementi, 24.2.2016

Evklid je za geometrijo to, kar je Platon za matematiko: ‘‘oče‘‘ ustreznega področja!Nekdo je lepo rekel, da je zgodovina zahodne filozofije bolj ali manj le zbirka opomb k Platonovi Državi.Podobno bi lahko rekli, da je zgodovina zahodne matematike bolj ali manj le zbirka komentarjev k Evklidovim Elementom. O samem življenju Evklida, ki so ga kasnejši matematiki spoštljivo imenovali ‘oče geometrije’ in ‘avtor Elementov’, je znanega le malo; tudi njegove podobe ne poznamo. Njegov spomenik so njegova dela, poleg Elementov (ki obsegajo kar XIII knjig!) še Podatki, Optika, itd. Pred Evklidom so Elemente napisali že drugi starogrški matematiki. Toda Evklid jih je presegel po kompoziciji, strogosti dokazovanja. Postavil je temelje klasičnega sloga, po katerem so se zgledovali največji matematiki, kot sta bila npr. Arhimed in Newton. Njegovo izvirno delo so tudi aksiomi in postulati, ki so (še posebej znameniti 5. postulat) več kot dva tisoč let burili domišljijo matematikov, ki so ga, vse do odkritja neevklidskih geometrij, zaman poskušali dokazati oziroma izpeljati iz drugih postulatov. Iz Evklidovih Elementov se ne naučimo le ‘‘elementarne geometrije in metodike‘‘, kamor Elemente uvršča moderna matematična klasifikacija področij.Mimogrede se veliko naučimo tudi o starogrški matematiki pred Evklidom, pa o različnih aksiomatskih sistemih v geometriji (in matematiki nasploh), o različnih paradoksih v zvezi z neskončnostjo v matematiki, o posebnostih Evklidovega ‘klasičnega‘ sloga, o povezavah med matematiko, filozofijo in umetnostjo, itd. V tem smislu so Elementi res idealna tema preučevanja za uvod v zgodovino matematike! Ogledali smo si vsebinsko delitev Elementov oziroma spoznali osnovno vsebino posameznih knjig. Opisali smo pomen posameznih postulatov, ki zagotavljajo obstoj točk, ravnih črt in krogov; iz teh osnovnih gradnikov Evklid konstruira vse druge geometrijske objekte ter strogo dokaže oziroma izpelje njihove lastnosti. Spoznali smo tudi značilno šestdelno strukturo Evklidovih trditev. Pojasnili smo razliko med antičnima metodama analize (ki predpostavlja, da je prblemže rešen, potem pa išče lastnosti rešitve in išče povezave z nečim znanim, že dokazanim ali konstruiranim) in sinteze (ki ubira pot v nasportni smeri). Omenili smo še nekaj pomembnejših Evklidovih izvirnih prispevkov k Elementom (npr. dokaz Pitagorovega izreka I.47, Evklidov algoritem, dokaz, da je praštevil neskončno mnogo). Ta prva predstavitev Elementov je bila namenjena splošnemu spoznavanju z njihovo vsebino, strukturo in nekaterimi posebnostmi Evklidovega sloga. Nekatere matematično najzanimivejše odlomke iz Elementov pa bomo na našem seminarju spoznali še podrobneje.

Zgodovina matematike je sprva težka, a jo kmalu vzljubimo! Tako kot se ob vsakem prevodu marsikakšen pomenski odtenek izgubi, tako tudi vsebine in neposredne osebne izkušnje poslušanja predavanj na temo zgodovine matematike ne more nadomestiti noben material, objavljen na spletni strani. Zato ste vsi ljubitelji matematike ali zgodovine matematike vabljeni k obiskovanju seminarja! Ko se nam enkrat začne sestavljati mozaik zgodovine matematike, nam je čudovit razgled, ki se nam tako odpre, v veliko veselje.

3. predavanje: Euler in teorija števil

Predstavili smo življenje in delo enega Leonharda Eulerja  (1707-1783), enega redkih univerzalnih matematikov, ter osvetlili razloge njegove izjemne uspešnosti in ustvarjalnosti. Ti so bili srečna kombinacija izjemnih sposobnosti, osebnostnih lastnosti in zunanjih okoliščin.
Euler je pustil svoj pečat na različnih področjih matematike, kot so: teorija števil, logaritmi, neskončne vrste, analitična teorija števil, kompleksna števila, algebra, geometrija, kombnatorika.
Njegova Opera omnia (Zbrana dela) obsegajo kar 80 zvezkov, od tega jih je 29 posvečenih matematiki, 31 mehaniki in astronomiji, 12 fiziki, 8 zvezkov pa je njegove korespondence.
Njegovo izjemno obsežno in navdihujoče delo, ki matematike inspirira še danes, je smiselno pregledovati po področjih. 
Tokrat smo si podrobneje ogledali Eulerjev prispevek na področju teorije števil, med katere začetnike lahko štejemo Pitagoro, Evklida in Diofanta, razmahnila pa se je prav po tem, ko je k njej odločilno prispeval Euler. 
Teorija števil v Eulerjevem času ni bila med najbolj priljubljenimi vejami matematike, tako kot ne tudi stoletje prej, ko se je z njo resneje ukvarjal le Fermat, ki pa mnogih svojih hipotez ni dokazal. Euler je dokazal precej Fermatovih trditev, v raziskovanje teorije števil pa je vpeljal tudi analitične metode (rodovne funkcije, formalne potenčne vrste, spretno je uporabljal tudi neskončne vsote in neskončne produkte).
Dokazal je, da je Evklidov kriterij oziroma zadostni pogoj za to, da je neko (sodo) število popolno (torej vsota vseh svojih pravih deliteljev), tudi potreben. Glede možnosti obstoja lihih popolnih števil (ki še do danes ni rešeno), je izjavil, da gre za zelo težak problem.
Vpeljal je mnoge pojme iz teorije kongruenc (npr. primitivni koren, indeks, potenca po modulu m) in dokazal marsikateri klasičen rezultat, kot je npr. Wilsonov izrek, mali Fermatov izrek, veliki Fermatov izrek za eksponenta n = 3 in 4.
Formuliral je kvadratni reciprocitetni zakon (ki ga je strogo dokazal šele Gauss).  Ukvarjal se je tudi s teorijo verižnih ulomkov in s problemi diofantske analize. Pokazal je (kar je trdil že Fermat), da se da vsako praštevilo oblike 4n + 1 zapisati v obliki vsote dveh kvadratov, in še več, da je tako izrazljivo na en sam način.  Omenili smo, kako se te njegove raziskave dotikajo slavne Goldbachove domneve, po kateri se da vsako sodo število, večje od 2, zapisati kot vsoto dveh praštevil.

4. predavanje: Euler in kompleksna števila

"Razumeti znanost je poznati njeno zgodovino."
August Comte

V Italiji so od 13. do 16. stoletja po zgledu postopka za rešitev enačbe 2. stopnje matematiki iskali podobne postopke oziroma formule za reševanje enačb 3. In 4. stopnje. Ker še ni bilo razvitega matematičnega simbolizma, so uporabljali besedne opise postopkov, ki pripeljejo do rešitev. Ti postopki so bili dostikrat razloženi le na konkretnih številskih primerih.
Kompleksna števila se v zgodovini najprej pojavijo v rešitvah enačbe 3. stopnje, kjer v Cardanovih formulah, objavljenih v knjigi Ars Magna (1545) nastopajo kvadratni koreni iz negativnih števil. Namesto originalne izpeljave Scipiona del Ferra (1515) smo si ogledali Eulerjev dokaz Cardanove formule za reducirano kubično enačbo x3 = mx + n iz njegove knjige Elementi algebre (1770).Razčlenili smo idejo in strukturo tega dokaza (ki temelji na vpeljavi dveh pomožnih spremenljivk p in q in njuni izražavi s p + q in p – q, izražavi p – qs p+q in pq, ter dveh enačbah, ki povezujeta pq in m ter p + q in n).
Kompleksna številanastopajo tudi v rešitvi problema, ki ga je obravnaval Cardano: Poišči dve števili, katerih vsota je 10, produkt pa 40. Matematiki so imaginarna števila najprej gledali z nezaupanjem, saj si niso mogli predstavljati drugačnih števil kot takih, ki pomnožena sama s seboj dajo nenegativno število. Zdela so se jim le zanimiva miselna konstrukcija brez realne eksistence. 
Le počasi je prevladalo spoznanje, da so ta števila koristna in omogočajo elegantne rešitve mnogih problemov. K temu je v veliki meri pripomogel prav Euler, ki je izpeljal mnoge temeljne formule za računanje s kompleksnimi števili. S pomočjo polarnega zapisa kompleksnega števila in DeMoivrove formule je pokazal, da ima vsako kompleksno število a + bi natanko n korenov, ki so spet oblike M + Ni, torej kompleksna števila. Razrešil je uganko logaritmov negativnih števil, okrog katere sta se prerekala Johann Bernoulli in Gottfried Wilhelm Leibniz, in naredil še korak dlje: definiral je logaritem kompleknega številater sinus in kosinus kompleksnega števila in pokazal, da tudi v kompleksnem velja analogija Pitagorovega izreka sin2(a + bi) + cos2(a + bi) = 1, kar je bila zanj ena od potrditev, da so njegove definicije pravilne. Izpeljal je tudit.i. Eulerjevo identiteto eix = cos x + i.sin x, za katero je podal kar tri dokaze; iz nje sledi slavna formula eiπ– 1 = 0, v kateri nastopa pet najpomembnejših matematičnih konstant. Vpeljal je oznako i za kvadratni koren iz minus 1, in izračunal ii, torej i na potenco i!
K uveljavitvi kompleksnih števil je močno pripomogla tudi njihova vizualna predstavitev s točkami na ravnini, ki jo je predlagal že Argand (1806), uveljavila pa se je šele, ko je isto predlagal Gauss (1831). Povedali smo tudi, kako je Wallis prvi prišel na idejo, predstaviti realna števila na številski premici. Množenje s kompleksnimi števili se je zdaj dalo lepo ponazoriti kot kompozitum raztega in rotacije ravnine.
Hamilton, ki je prvi predstavil kompleksna števila z urejenimi pari realnih števil, je dolgo zaman poskušal nekaj podobnega storiti tudi za točke v prostoru: iskal je pravilo za množenje urejenih trojk, da bi s takšnim množenjem izrazil rotacije trirazsežnega prostora. To mu je uspelo šele, ko se je otresel čvrsto zakoreninjenega predsodka, da mora veljati komutativnostni zakon za množenje tudi v tem primeru, in pa, ko je namesto urejenih trojk uporabil urejene četverice, t.i. kvaterninone. Iz njegovega pravila za množenje sta nastali pravili za vektorski in skalarni produkt vektorjev v trirazsežnem prostoru.
Zanimivost: teorija matrik (nastala okrog 1850) je omogočila, da lahko kompleksna števila predstavimo tudi s kvadratnimi matrikami 2 x 2.
Nazadnje smo omenili nekaj uporab kompleksnih števil v fiziki in geometriji. 

Dodatno branje za tiste, ki želijo bolje spoznati kompleksna števila:
An Imaginary Tale:The Story of√-1, Reviewed by Brian E. Blank
Notices of the AMS, Volume 46, Number 10, November 1999
Vtem članku (recenziji knjige), dostopnem tudi na spletu, boste našli obširen seznam literature v zvezi s kompleksnimi števili in njihovo zgodovino.

5. Hamilton in kvaternioni, 16.03.2016

V okviru pregleda Hamiltonovega življenja in dela smo omenili nekaj najzanimivejših mejnikov. Ekscentrična izobrazba v rani mladosti, ki je poudarjala študij klasičnih jezikov, mu je omogočila branje Evklida in Newtona v izvirniku. Zgodnja izpostavljenost prebiranju del najboljših matematikov je, v kombinaciji z izjemnim talentom, obrodila sadove. Kot mladenič je na Trinity College v Dublinu briljiral in bil na vseh izpitih najboljši, Kraljevo irsko akademijo pa je tako navdušil s svojim prvim pomembnim člankom, da so ga že pri 22 letih imenovali za profesorja astronomije in direktorja observatorija v Dunsinku. Praktično vso kariero se je lahko posvečal raziskovanju. Pomembno je prispeval k matematični fiziki (Hamiltonova mehanika). V zgodovino matematike se je zapisal kot izumitelj kvaternionov.
Hamiltonovo odkritje kvaternionov smo si ogledali v kontekstu dveh problemov, ki sta po letu 1830, ko so se kompleksna števila že izkazala za uporabno matematično orodje, znali pa so jih že tudi geometrijsko ponazoriti s točkami v ravnini, zaposlovala matematike tistega časa: 

Zakaj se vsa števila, naravna, cela, racionalna, realna, kompleksna, pokoravajo istim računskim zakonom?
Kako najti še splošnejša števila od kompleksnih, in kako definirati osnovne operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) nad njimi?

S prvim problemom so se ukvarjali Peacock, Gregory in DeMorgan. Čeprav niso našli pravilnega odgovora, in so namesto razlage ponudili le t.i. načelo permanence oblik, po katerem naj bi se zakoni aritmetične algebre morali prenesti tudi na načela simbolične algebre, so njihova razmišljanja o simbolični algebri vendarle utrla pot nadaljnjemu razvoju, predvsem delu Georgea Boolea na področju algebre logike, ki je pokazalo, da lahko logične zakone in izpeljevanje njihovih posledic modeliramo z algebraičnimi operacijami.
Drugi problem je po trinajstih letih rešil Hamilton leta 1843. Kvaternioni, ki jih je tedaj odkril, in s katerimi se je potlej intenzivno ukvarjal do konca življenja, so odprli pot za odkritja še drugih številskih sistemov, kot so bili npr. Gravesovi oktonioni, ter še številni drugi sistemi. Medtem ko so se kvaternioni dali predstaviti tudi z matrikami, to pri oktonionih (zaradi njihove neasociativnosti) ni bilo mogoče.
Klasifikacija teh novih številskih sistemov, ki jo je začel Benjamin Peirce 1872, je vodila do novega razvoja v algebri.Kvarernioni, ki so jih v fiziki kasneje izpodrinili vektorji, so v 20. stoletju našli nove uporabe (npr. v kvantni fiziki in relativnostni teoriji).

Posebej smo poudarili, da je preučevanje Hamiltonovega življenja in dela zelo zanimivo s stališča zgodovine matematike, saj je proces, ki je pripeljal do samega odkritja, pa tudi logiko, po kateri je korak za korakom odkrival lastnosti, ki jih mora imeti ‘’kvocient dveh vektorjev’’, kar je bila njegova začetna definicija iskanega ‘’hiperkompleksnega števila’’, za katerega se je nazadnje izkazalo, da ni trojica, ampak četverica, zelo podrobno opisal v svojih predavanjih,  pa tudi v knjigi Elementi kvaternionov. Preučevanje teh primarnih virov, ki so na voljo tudi na spletu, je zelo poučno, in omogoča dragocen vpogled v proces nastajanja novega matematičnega koncepta. Iz teh primarnih virov, v katerih je kvaternione vpeljeval bolj na geometrijski način (in ne na algebraičnega, kot to počno danes), in v katerih je uporabljal mnoge analogije ter primere iz astronomije, kažejo, da je proces matematikovega ustvarjalnega razmišljanja lahko izjemno kompleksen. Še posebej zato, ker veliki matematiki le redko izdajo način, na katerega so prišli do svojih odkritij, jeobilica virov, ki so na voljo v primeru Hamiltona (obstaja tudi kar nekaj biografij o njem, ki obravnavajo različne vidike njegovega življenja in dela), izjemno dragocena ne samo za zgodovinarje matematike, ampak tudi za vse, ki jih zanima način ustvarjalnega razmišljanja matematikov, kadar razvijajo nov matematični koncept ali teorijo.Zato smo na koncu predavanja posebej poudarili, da je (vsajza nekoga, ki ga zanimajo kvaternioni ali pa zgodovina matematika kot taka), resnično vredno vsaj nekaj svojega časa posvetiti branju že omenjenih Hamiltonovih predavanj ali njegove knjige Elementi kvaternionov. Vrednosti prebiranja primarnih virov se ne zavemo, dokler se sami ne prepričamo o tem.Sekundarni in terciarni viri so sicer lahko dobro izhodišče za začetek raziskovanja, a kjer so na voljo primarni viri, velja poseči po njih.

Vljudno vabljeni k nadaljnjim predavanjem našega seminarja! Vsako osvetljuje nek drug vidik zgodovine matematike, ali nek drug vidik proces matematikovega dela. Posebej pozorno izbiramo vsebine, ki so hkrati zanimive, poučlne in tehtne. Širši pogled na matematiko, ki ga omogoča takšen "evolucijski" pristop k njej, ki omogoča tudi vpogled v preplet različnih vej matematike (in njeno povezavo z fiziko in drugimi vedami ter njene številne uporabe v življenju) lahko pomaga pri študiju ali lastnem pedagoškem, raziskovalnem in ustvarjalnem delu.

6. Martin Gardner in njegov prispevek k popularizaciji matematike, 23.03.2016.

Ime Martina Gardnerja (1914-2010), dolgoletnega pisca rubrike Mathematical Games za revijo Scientific American ter avtorja številnih knjig s področja razvedrilne matematike, ugank, paradoksov, iger je dobro znano matematikom širom sveta. Njemu v poklon matematična skupnost organizira konference in srečanja, na katerih udeleženci osvetljujejo in dalje razvijajo njegovo intelektualno dediščino, ki jo zaznamujeta kritični duh in veselje do raziskovanja najrazličnejših področij in vidikov matematike.

Orisali smo življenje, delo in osebnost Martina Gardnerja, ter čas in okoliščine, v katerih je ustvarjal ter pojasnili, v čem je bila skrivnost njegovega velikega uspeha in priljubljenosti pri bralcih njegovih kolumn in številnih knjig s področja razvedrilne matematike.

Ob primerih nalog, ugank in paradoksov ter matematičnih iger, ki jih je predstavil v svojih najodmevnejših kolumnah (v katerih je predstavil tako Conwayevo Igro življenja kot tudi Penrosova tlakovanja in Mandelbrotove fraktale, če omenimo le nekaj najbolj znanih), smo analizirali tudi zgoščeni, jasni in duhoviti slog njegovega pisanja ter identificirali še nekatere druge prvine njegovega ustvarjanja, zaradi katerih ostaja na področju popularizacije matematike zgled vsem drugim piscem o podobnih temah.

Marsikatero matematično temo, na katero je opozoril Gardner, ki je imel poudarjeno izostren občutek za zanimive in tehtne probleme, so matematiki potem začeli intenzivno raziskovati. Pri analizi matematičnih iger so pomembno vlogo odigrali tudi računalniki, ki so skupaj s teoretičnimi razmisleki matematikov o igrah na splošno pomagali odkriti zmagovalne strategije mnogih konkretnih iger.

7. Najzanimivejše kombinatorične igre, 30.03.2016.

Matematiki so najprej analizirali posamezne igre. Pomemben napredek pri preučevanju iger so dosegli, ko so začeli preučevati družine iger in jih začeli medsebojno primerjati.

Klasična matematična teorija iger preučuje ekonomske igre (in igre v biologiji). Pri njih navadno igralci vlečejo poteze simultano (torej ne da bi vedeli, kaj bo v danem položaju storil nasprotnik). Izkupiček igralcev je določen s t.i. plačilno matriko, kombinacija odločitev igralcev določi vrednost v plačilni matriki, ki jo moraigralec B plačati igralcu A. Vsak od igralcev izbira med končno mnogo opcijami z določeno verjetnostjo, pri čemer skuša optimizirati svoj iztržek.

Novejša teorija preučuje različne kombinatorične igre. Večinoma gre za igre z dvema igralcema (ki ju imenujemo Levi in Desni), ki izmenično vlečeta poteze, in ki imata vselej popolno informacijo o položaju igre, pri izboru potez pa ne uporabljata nobenih slučajnih pripomočkov (kart, kock, itd.). Pri t.i. normalni igri je zmagovalec tisti, ki ima na voljo zadnjo potezo (igre, kjer je zmagovalec tisti, ki povleče predzadnjo potezo, so mnogo težje).

Novih iger se najlažje naučimo tako, da jih igramo. Vendar smo lahko pri tem uspešnejši, če poznamo vsaj nekaj osnovnih strategij ter nekaj osnovnih pojmov in rezultatov kombinatorične teorije iger.

Leve opcijeG^L dane igre G (oziroma pozicije) so igre (oziroma pozicije), ki so iz nje dosegljive Levemu, desne opcijeG^R pa tiste, ki so dosegljive Desnemu.

Matematiki so najprej preučevali nepristranske igre (kot sta npr. KRIŽCI IN KROGCI, kjer imata oba igralca v vsakem položaju na voljo enake opcije, G^L = G^R), kasneje pa tudi splošnejše (kot npr. DOMINEERING, kjer prvi postavlja na desko navpične, drugi pa vodoravne domine).

Glede na to, kdo v igri zmaga, če oba igralca vlečeta najboljše poteze, sodi vsaka kombinatorična igra v natanko enega od štirih možnih razredov iger:

pozitivne igre, oznaka G >0, sodijo v razred L (zmaga levi) in

negativne igre, oznaka G >0, sodijo v razred R (zmaga desni).

ničelne igre, oznaka G = 0, sodijo v razred P (zmaga tisti, ki ni na potezi),

fuzzy igre, oznaka G ‖0,sodijo v razred N (zmaga tisti, ki je na potezi).

Če se pozicije v igri ne morejo ponoviti, se da potek kombinatorične igre predstaviti z drevesom igre (sicer pa z grafom, v katerem nastopajo tudi cikli). Vsako vozlišče ustreza določenemu položaju igre.

Vsi listi drevesa so igre tipa P. Razred izidov vsake igre se da rekurzivno določiti glede na razrede izidov njenih levih in desnih opcij (po posebnem pravilu). Tako lahko po vrsti označimo vsa vozlišča drevesa igre (vse njene položaje) in nazadnje ugotovimo, v katerem razredu je dana igra G!

8. O številih in igrah, 06.04.2016.

Prejšnjič smo si ogledali primere zanimivih kombinatoričnih iger, tokrat smo se bolj posvetili njihovi teoriji.

Conway je podal preprost aksiomatski opis kombinatoričnih iger: igro Gje definiral rekuzivno kot urejen par njenih levih in desnih opcijG = {G^L|G^R}, definiral pa je tudi pojme, kot so enakost iger G = H, vsota iger G + H in nasprotna igra –G = {–G^R|–G^L}. Za te aksiome tvorijo igre (oziroma ekvivalenčni razredi iger, ki so med seboj zamenljive v vseh vsotah iger) Abelovo grupo!Vlogo igre 0 ima v tej grupi vsaka igra, ki je dobljena za drugega igralca.  Razred izidov G + H je (razen v treh od 16 primerov) natančno določen z razredi izidov G in H.

Poleg te algebrske strukture premorejo igre tudi relacijo delne urejenosti G≥ H. Igram lahko priredimo tudi njihove vrednosti. Nekatere igre (ne pa vse) imajo za vrednosti (cela ali racionalna) števila, pri čemer algebrske operacije nad igrami (npr. A + B) natanko ustrezajo istim operacijam pri ustreznih številih (npr. a + b), ki jim pripadajo kot njihove vrednosti!

Aksiome teorije iger smo primerjali z aksiomi, s katerimi je Conway definiral t.i. surrealna števila. Sledili smo logiki, po kateri je postopoma oblikoval svojo teorijo tako števil kot tudi še splošnejše družine iger.
 

9. Vozli v matematiki, 13.04.2016.

Matematična teorija vozlov je za zgodovino matematike, ki ne preučuje samo starodavne matematike, ampak pozorno spremlja tudi razvoj sodobne matematike, zanimiva tudi zato, ker (podobno kot teorija kombinatoričnih iger) predstavlja razmeroma novo področje, ki se še vedno intenzivno razvija in na katerem je veliko zanimivih odprtih problemov, ki se jih da tudi brez obsežnega predznanja z drugih področij matematike razmeroma hitro razumeti.

Razvoj teorije vozlov je pomembno pripomogel k razvoju topologije. Povezuje se tudi s teorijo grafov in teorijo ploskev. Povedali smo, na kakšne načine je uporabna v kemiji, fiziki in biologiji. Vozle in splete srečamo tudi v umetnosti.

Ob primerih smo spoznali nekaj osnovnih pojmov iz matematične teorije vozlov in spoznali nekaj mejnikov iz njene kratke zgodovine (npr. Dowkerjevo notacijo, Reidemeistrove pomike, Conwayeve splete).

Matematiki so razvili kar nekaj tehnik za ugotavljanje, ali sta dva vozla enaka, pa tudi za poseben primer tega problema, ali je dani vozel ekvivalenten trivialnemu vozlu.  Sistematično so se lotili tabeliranja vozlov (najprej alternirajočih, nato pa tudi nealternirajočih) z do 16 vozlišči.

Opisali smo nekajpreprostih  invariant, ki pomagajo razlikovati med vozli. Razložili smo tudi osnovno idejo računanja vozelnih polinomov s pomočjo rekurzivnih formul, ki povezujejo vozelni polinom danega vozla z vozelnimi polinomi preprostejših vozlov.

Vozle lahko tudi množimo in seštevamo. Netrivialne vozle tedaj delimo na sestavljene in pravozle. Ogledali smo si osnovno idejo dokaza (prek Seifertovih ploskev), da trivialni vozel ni sestavljen, oziroma da noben vozel ni obrnljiv.

 

10. Dokazi v matematiki, 20.4.2016

Dokazi so ena najpomembnejših prvin matematike. Najboljši dokazi nam poleg potrditve resničnosti določene trditve uspejo predstaviti tudi razlog, zakaj je resnična. Razumevanju procesa dokazovanja je posvečeno kar nekaj matematične literature. Odkrite luknje v dokazih so velikokrat v zgodovini matematike pomagale natančneje definirati pojme, precizirati domeno veljavnosti določenih formul, ipd.

Dokaze so v matematiko pripeljali stari Grki (Tales, Pitagora).  O metodah dokazovanja in reševanja problemov nasploh so razmišljali tudi teoretično (Pappus, Arhimed,…). Razlikovali so npr. med metodama analize in sinteze, izumili so dokaz s protislovjem, postavili geometrijo na aksiomatske temelje (Evklid), itd..To je matematiko dvignilo na povsem novo raven. Postala je eksaktnejša, strožja, a tudi težja.Namesto memoriranja in mehanskega reproduciranja računskih ‘‘receptov‘‘ je bilo zdaj mogoče razumeti, zakaj ti recepti delujejo.

Ob konkretnih primerih smo spoznali nekaj tipičnih dokazov v matematiki. Podali smo klasifikacijo dokazov. Razložili smo, zakaj so dokazi najpomebnejši element matematikovega razmišljanja in dela.

Kot eno najpomembnejših ‘‘praktično uporabnih‘‘ lekcij, ki se jih naučimo, če študiramo problematiko dokazov, smo izpostavili npr. tole paradoksno pravilo:Če dokazuješ neko hipotezo, deluj hkrati tudi v nasprotni smeri: išči protiprimere, ki bi jo ovrgli! Če jih odkriješ, izboljšaj hipotezo! Analiziraj dokaz, in išči luknje v njem, ter jih zakrpaj s skrbnejšim definiranjem pojmov, natančnejšim preciziranjem pogojev, itd.Podrobnosti tega postopka in razloge zanj bo zainteresirani bralec našel v knjigi Imre Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge University Press, 1976.

Težje ko je izrek dokazati (več ko je vmesnih korakov od aksiomov do izreka, več ko je drugih rezultatov, na katere se je treba sklicati pri dokazu), težji je izrek. Včasih kak močan izrek neke druge teorije omogoči lahek dokaz nekega izreka, ki je sicer, če smo omejeni le na orodja dane teorije, težak.Paradoks je, da matematiki po eni strani iščejo čim krajše dokaze (z uporabo močnih orodij, že dokazanih izrekov, pa tudi s pomočjo računalnikov), po drugi strani pa čim bolj elementarne! Dotaknili smo se tudi vprašanja, kako računalniki že spreminjajo kulturo dokazovanja v matematiki.

Ali se je umetnosti dokazovanja mogoče naučiti, smo razmišljali ob primerih dokazov iz znane knjige Marzin Aigner, Günter M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2010.Nekaj dokazov smo podrobno razčlenili, identificirali smo njihovo ključno idejo in pogoje oziroma orodja, ki so omogočila elegantno tehnično izpeljavo te ideje. Najlepši in najboljši dokazi so tisti, ki jasno in natančno pokažejo ne samo, da je nekaj resnično, ampak tudi, zakaj je resnično.

11. Iz zgodovine geometrije, I. del: Dokazi in konstrukcije v geometriji

Geometrijske probleme delimo v probleme dokazovanja in konstrukcijske probleme. Ob primerih znanih problemov iz zgodovine geometrije, pa tudi nekaterih novejših, smo spoznali nekaj načinov njihovega reševanja. Opisali smo tudi zgoščeno notacijo, ki se uporablja za opis geometrijskih konstrukcij ter primerjali moč različnih konstrukcijskih orodij.

12. Iz zgodovine geometrije, II. del: Kompleksna števila v geometriji

Analitične metode v geometriji, s katerimi geometrijske probleme prevedemo na reševanje sistemov enačb, in ki so se razmahnile predvsem po zaslugi Vieta in Descartesa, so za posamezne probleme (npr. podvojitev kocke) uporabljali že v antiki. Poleg koordinatne metode (ki ni nujno vezana na pravokotni koordinatni sistem) so v geometriji zelo uporabni tudi vektorji. Še močnejše orodje, s katerim lahko izražamo tudi rotacije, so kompleksna števila.

Najprej smo pregledali osnovne formule v zvezi s kompleksnimi števili. Potem smo izpeljali nekaj nadaljnjih temeljnih relacij, ki povedo, kako s kompleksnimi števili preverimo npr. podobnost trikotnikov, kolinearnost treh točk, kocikličnost štirih točk, enakostraničnost trikotnika, itd. Nazadnje smo s tako pripravljenimi orodji zlahka dokazali nekatere najlepše (klasične, pa tudi novejše) geometrijske izreke (kot so npr. Napoleonov, Ptolemejev, Cliffordov, Morleyev), katerih dokazi so z uporabo drugih metod daljši ali zahtevnejši. 

13. Iz zgodovine geometrije, III. del - Kleinov pogled na geometrijo

Da bi lahko bolje razumeli in cenili Kleinov prispevek k poenotenju različnih vej geometrije, ki so se pojavile do leta 1872,  v katerem je predstavil svoj znameniti Erlangenski program, v katerem je kot temeljno geometrijo postuliral projektivno geometrijo, smo si ogledali širši zgodovinski in matematični kontekst, ki je v 19. stoletju pripeljal do razvoja številnih novih geometrij.

Ker igrajo v projektivni geometriji pomembno vlogo nedegenerirane stožnice (elipsa, parabola, hiperbola), ki so tudi vse projektivno kongruentne med seboj, smo si najprej ogledali nekaj osnovnih lastnosti stožnic. Primerjali smo njihove različne karakterizacije in algebraične opise (npr. s pomočjo konstantnega razmerja razdalj poljubne točke od gorišč in vodnice, zapis v kartezičnih koordinatah, polarni zapis, itd).

Osnovne ideje projektivne geometrije so izšle iz linearne perspektive, ki so jo študirali renesančni umetniki. Okrog 1425 jo je odkril Filippo Brunelleschi (1377-1446), razvil jo je slikar in arhitekt Leon Battista Alberti (1404-1472), izpopolnil Leonardo da Vinci (1452-1519), teoretično in s številnimi lesorezi pa jo je v delu Underweyssung der Messung leta 1525 predstavil Albrecht Dürer. Ogledali smo si osnovne pojme linearne perspektive (očišče ali bežišče, horizont, zorni stožec, itd.) in jo primerjali z drugimi vrstami perspektive, ki so se uporabljale v zgodovini (terasasta, paralelna, navpična, vojaška, itd.), pa tudi, kaj je o navidezni velikosti objektov vedel že Evklid: Navidezna velikost objektov ne pada linearno z oddaljenostjo od opazovalca, ampak je odvisna od velikosti zornega kota v njegovem zornem polju!

Med prvimi, ki je želel postaviti linearno perspektivo na trdnejše matematične temelje, ob tem pa odkril projektivno geometrijo in znameniti Desarguesov izrek, je bil Girard Desargues (1591-1650), a njegovo delo je dolgo ostalo nerazumljeno in je utonilo v pozabo.  Desargues je pokazal, da je mogoče predstaviti teorijo stožnic na poenoten način, ker lahko vsaki dve stožnici (t.j. elipso, parabolo, hiperbolo) vselej dobimo kot presek istega dvojnega stožca in sta torej perspektivni iz iste točke - vrha stožca.Francoski matematik Blaise Pascal (1623-1662), ki je slišal za Desarguesovo delo od očeta, matematika Etienna, je pri 16 letih odkril enega najznamenitejših rezultatov v teoriji stožnic, Pascalov izrek. Le-ta je posplošitev znanega Pappusovega izreka. Oba izreka se enostavno dokaže z metodami projektivne geometrije. Desarguesovo projektivno geometrijo je kasneje na novo odkril Jean Victor Poncelet (1788-1867), eden od bivših študentov Ecole Polytechnique, ko je prišel na idejo, da bi namesto paralelne projekcije ‘’iz neskončnosti’’ (ki se uporablja v opisni geometriji), lahko uporabljali tudi projekcijo iz neke ‘’končne’’ točke, na ta način pa se je, čeprav izhajajoč iz idej svojega učitelja Gasparda Monga (1746-1818), navdušenega geometra, ki je iznašel sistem opisne geometrije za načrtovanje vojaških utrdb), znova vrnil k ideji šopa žarkov in zornega stožca ter perspektivnosti, ki so jih poznali in uporabljali že renesančni umetniki!

V 19. stoletju so poleg sferične in neevklidske geometrije odkrili še afino in inverzno geometrijo. Področje dotlej enotne geometrije je začelo razpadati na posamezna samostojna področja.

Klein je 1872 odkril oziroma postuliral kot nekakšno načelo, da v vsaki geometriji obravnavamo določene lastnosti določenih geometrijskih objektov, da pa se ti objekti in te lastnosti spreminjajo od ene geometrije do druge. Klein pa je ugotovil še več: v obeh (in tudi v drugih) primerih dovoljene transformacije tvorijo neko grupo(in to v času, ko je bila teorija grup šele razmeroma malo uporabljana). Hierarhija simetrijskih grup in njihovih podgrup se natančno odslikava v hierarhiji ustreznih geometrij!

Kleinova ideja je bila torej: Vsako geometrijo lahko karakteriziramo z grupo transformacij; geometrija je v resnici študij invariant, t.j. lastnosti, ki se ohranjajo pri izbrani grupi transformacij.Podgeometrija geometrije je zbirka invariant za neko podgrupo transformacij prvotne grupe. Vsi izreki geometrije, ki pripadajo dani grupi, so tudi izreki v geometriji s to podgrupo transformacij.

Kleinov program pa je bil veliko več kot samo ta ideja. Ta je sicer dala smer njegovemu raziskovanju, da pa je zaživela, je moral vse obstojoče geometrije dejansko analizirati in ugotoviti povezave med njimi.Če je npr. hotel pokazati, da je neka geometrija podgemometrija druge, je moral pokazati, da lahko točke ene geometrije vložimo v prostor točk druge, grupo transformacij ene geometrije pa izomorfno preslikamo v neko pravo podgrupo grup transformacij druge geometrije. To nikakor ni bilo lahko delo.

Kleinovo klasifikacijo geometrij na osnovi gornjih idej so matematiki kasneje še razširili in izpopolnili.

Kleinovo »filozofijo« geometrije je mogoče vzeti za osnovo, konceptualni okvir prikaza geometrije v učbeniku. Natanko to so storili npr. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray v knjigi Geometry, Cambridge University Press, 1999.V tej knjigi je tudi mnogo primerov, ki pokažejo, kako se z uporabo Kleinovega pogleda da elegantno dokazati mnoge znane izreke evklidske geometrije (in drugih geometrij). Kleinov pogled je navdihnil tudi mnoge nove raziskovalne probleme v geometriji, nekako do leta 1950 pa je v svetu prevladoval tudi v pedagoškem pristopu k geometriji.

Mnogi dokazi klasičnih (pa tudi novih) geometrijskih izrekov se dajo dobiti preprosteje z uporabo osnovnih metod in temeljnih izrekov afine, projektive, inverzne (in drugih) geometrij. Tako lahko npr. s temeljnim izrekom afine geometrije (ki pravi, da se da vsak trikotnik preslikati v vsakega drugega z neko afino transformacijo) enostavno dokažemo npr. Čevov izrek in Menelajev izrek.

Ti dokazi so oblikovani po naslednji shemi:

• A. Najprej dokažemo trditev za nek poseben primer (npr., da se v enakostraničnem trikotniku težiščnice sekajo v isti točki).
• B. Nato pokažemo, da se lastnost, ki jo dokazujemo, ohranja pri transformacijah določene grupe (npr. pri afinih transformacijah).
• C. Skličemo se na izrek, da se da vsak trikotnik preslikati v vsakega drugega na isti ravnini z afino transformacijo.
• D. Od tod potem sledi, da imajo to lastnost (vse težiščnice se sekajo v isti točki) vsi trikotniki.

Ko enkrat razumemo ta princip, je učenje geometrije res veliko lažje!

S tem zadnjim, trinajstim predavanjem, smo zaokrožili tridelni ciklus predavanj Iz zgodovine geometrije, dovršili in zaključili pa smo tudi program in delo našega Seminarja za zgodovino matematike na UP FAMNIT.

 

In še kratko poročilo o celotnem delu našega seminarja:

Seminar za zgodovino matematike na UP FAMNIT, ki je potekal v letnem semestru 2015/2016, je obiskovalo od 2 do 9 poslušalcev, v povprečju od 4 do 5. Največ zanimanja je bilo za predavanja Kratka zgodovina poliedrov, Evklidovi Elementi, Eulerju in teorija števil, Euler in kompleksna števila, Hamilton in kvaternioni, Kombinatorične igre ter Dokazi v matematiki.

Poslušalci, ki so seminar spremljali redneje, so lahko dobili zaokroženo podobo razvoja velikega dela matematike od antike do 20. stoletja.

Če nam je na seminarju uspelo pokazati, da je zgodovina matematike ne samo zelo zanimiva in privlačna, ampak da lahko pomembno obogati tudi poučevanje matematike na vseh stopnjah, prispeva pa tudi k boljšemu razumevanju sodobne matematike in celo motivira in navdihuje nadaljnje samostojno raziskovalno delo na področju matematike, potem je njegov namen dosežen. 

Vsem poslušalcem se še enkrat zahvaljujem za obisk in pozorno spremljanje predavanj!

vodja Seminarja za zgodovino matematike na UP FAMNIT v letnem semestru 2015/2016, 
doc. dr. Jurij Kovič