Matrične strukturne relacije
natisniNaslov projekta:
(1) Problem pretvorbo permanente v determinanto. Determinanta matrike je relativno enostavno izračunljiva funkcija. Vendar pa njen izračun, ki ima pomembno vlogo v kombinatoriki, zahteva veliko število operacij. Naravno vprašanje je, ali je mogoče uporabiti kako bijectivno transformacijo, ki bi spremenila matriko, tako da je permanenta prvotne matrike enaka determinanti preoblikovane enega. Znano je, da to ni mogoče doseči z linearno transformacijo. S projektom bomo raziskali pogoje pod katerimi lahko permanent dane 0-1 matrike sosednosti grafa izračunamo preko determinante s spreminjanjem predznakov koeficientov matrike. V okviru prejšnjih bilateralnih projektov smo poiskali spodnjo mejo na število enic, da je pretvorba vedno mogoča, in zgornjo mejo na število enic, kjer pretvorba ni več možna. To smo uspeli narediti za splošne 0-1 matrike (reference [1,2]) kot tudi za simetrične 0-1 matrike (referenca [3]). V nedavnem članku (referenca [4]) smo spodnje meje poiskali tudi v primeru ko je 0-1 matrik popolnoma nerazcepna v smislu, da je nobena permutacije vrstic ali stolpcev ne spravi v bločno zgornje-trikotno obliko. V okviru predlaganega projekta nameravamo nadaljevati raziskavo, opravljeno v [4] in klasificirati popolnoma nerazcepne 0-1 matrike z minimalnim številom enic (za eno večje od spodnje meje), kjer je pretvorba permanente v determinanto možna.
(2) Graf komutativnosti Graf komutativnosti je relativno novo raziskovalno področje v algebri. Znano je, da lahko z njim natanko določimo kolobarje, ki so izomorfni 2-krat-2 matrikam s koeficienti iz končnega obsega. Tukaj nas bodo zanimala vprašanja kot npr. -Klasifikacija surjektivnih homomorfizmov grafa komutativnosti, -Klasifikacija diametra komutativnostnega grafa na matrikah, -Klasifikacija kolobarjev, katerih komutativnostni graf je izomorfen matričnemu.
(3) Ekstremnost posplošenih centralizatorjev. Iz naših poglobljenih študij o izomorfizmih relacije komutativnosti v matričnih algebrah nad nezaprtimi polji, sledi, da je bistveno klasificirati matrike z maksimalnim oz. minimalnim centralizatorjem (referenca [5]). V okviru predlaganega projekta načrtujemo nadaljevati tovrstne raziskave in klasificirati matrike z maksimalnimi oz. minimalnimi posplošenimi centralizatorji, tj., matrike A za katere je množica {X; AX - t XA = 0} bodisi največja možna bodisi najmanjša mogoča, kje je skalar t fiksiran. Ker imajo raziskovalci na ruski strani veliko izkušenj na področju algebre, medtem ko imajo raziskovalci na slovenski strani veliko izkušenj s področja linearne algebre in teorije grafov si z združitvijo znanj obetamo pridobiti nove rezultate na tem področju.
